Desigualdad cuadratica (ejemplo 3)

Resolver                            
x²+4x+2 ≤ - 3

Solución:
x²-3x+3 ≤ 0

Factorizando
( x+3 ) ( x+1 )
√x²=x

Sum Mul
 4       3
 3       1

Luego
(x+3)(x+1) ≤ 0

Caso 1 
Se pide
x+3 ≥ 0  y    x+1 ≤ 0

x ≥ -3   y      x ≤ -1

x ∈ [-3, -1] 

Caso 2

Se pide

x+3 ≤ 0  y   x+1 ≥ 0

Resolviendo las desigualdades

x < --3    y   x ≥ -1

x ∈ ᴓ

Su solucion

x ∈ [-3, -1]   U    ᴓ

x ∈ [-3, -1]

Desigualdad cuadrática (ejemplo 2)

Resolver                            
x²-3x+2 < 0

Solución:
Factorizando
x²-3x+2= ( x-1 ) ( x-2 )
√x²=x

Sum Mul
-3      2
-1     -2

Luego
(x-1)(x-2) < 0

Caso 1 
Se pide
x-1> 0  y  x-2 < 0

x > 1   y   x < 2

x ∈ ( 1,2 )

Caso 2

x- 2 < 0  y   x- 2 > 0

x < 1    y  x > 2

x ∈ ᴓ

La solución  es

x ∈  (1,2) U  ᴓ

x ∈  (1,2)

Desigualdad cuadrática (ejemplo 1)

Resolver                            
x²-5x+6 > 0

Solución:
Factorizando
x²-5x+6= (x-2 ) (x-3 )
√x²=x

Sum Mul
-5      6
-2     -3

Luego
(x-2)(x-3) > 0

Caso 1 
Te pide
x-2 > 0  y   x-3 > 0

Resolviendo las desigualdades
x > 2   y    x > 3

x ∈ ( 3,+ ∞ )

Caso 2

x-2 < 0  y   x-3 < 0

Resolviendo las desigualdades

x < 2    y  x < 3

x ∈ ( - ∞,2 )

La solución  es

x ∈  ( - ∞,2 )  U   ( 3 ,+ ∞ )

Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita.

Desigualdades cuadráticas

Resolver                                                                    Leyes de los signos:
a) x² + 3x - 4 > 0                                                                    +.+ = +
                                                                                                +.- = -
Factorizando                                                                           -.+ = -                                                                                                                                           -.- = -

(x-1)(x+4) > 0

Caso 1                                                                            


x-1 > 0  y  x+4>0       
x > 1     y  x>-4

 x∈ (1,+∞)

 Caso 2

x-1 < 0   y         x+4<0

x<1        y   x<-4

 x∈ (-∞, -4)

x∈ (-∞, -4) U (1,+∞)

Si    x=0

(0)² +3 (0) -4 > 0

                 0> 0           No se cumple

Si    x=2

(2)² +3 (2) -4 > 0

     4 + 6 - 4 > 0           

          10- 4 > 0  

                6 > 0           Si se cumple

Creditos:
https://www.youtube.com/channel/UCBUhqaYdIySQqT9VGQ33W1Q

Propiedades de las desigualdades

Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos 

Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual 
< menor que 
> mayor que 
≤ menor o igual que 
≥ mayor o igual que

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Propiedades de las desigualdades

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Valor absoluto y sus propiedades

∀ x∈ R

Valor absoluto

Es la distancia que existe del numero al origen,sin tener en cuenta su signo ya sea este positivo (+) o negativo (-) como por ejemplo 3 es el valor absoluto para 3 y para -3.

| x |→ Se lee "el valor absoluto de x"

| 3 |→ Se lee "el valor absoluto de 3"

|-5 |→ Se lee "el valor absoluto de 5"

| x |= x    si   x  ≥  0

| x |= -x   si   x  <  0

Ejemplo:

Hallar    

| 4 |                                            | -3 |

Solución

| 4 |= 4                                      | -3 | = - (-3) = 3

Propiedades del valor absoluto

• No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. | a |= x  ≥ 0
• Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.
  | x | = 0     x = 0
• Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.

  | xy| = | x | | y |
• Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.

  | x + y| = | x | + | y |

Intervalos y su representación gráfica

Intervalo:Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos lados: a y b (son los extremos del intervalo). 
También se le llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porción de la recta real.

Tipos de intervalos

• Intervalo abierto

Es el conjunto de los números reales entre a y b, sin incluir sus extremos (a, b)

(a, b) = {x / a < x < b}

• Intervalo cerrado

Es el conjunto los numeros reales entre a y b   incluyendo sus extremos. [a, b]

[a, b] = { x / a ≤ x ≤ b}

• Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b (a,b]

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

• Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b. [a, b) 

[a, b) = { x / a ≤ x < b}

• Intervalos infinitos

Son todos los números mayores que a.(a, infinito)

(- ∞, b] = { x / x ≤ b} 

[a, +∞) = { x / x ≥ a}

 (a, +∞) = { x / x > a}

 

(-∞ , +∞ ) = R

 (-∞ , b) = { x / x < b}

A modo de resumen:

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )

CLASIFICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES

*Desigualdades lineales: Son las más sencillas puesto que solamente obtienen la variable a la primera potencia

*Desigualdades lineales dobles: Son desigualdades lineales que contienen dos signos de comparación.

*Desigualdades cuadráticas: Como su nombre lo indica.

Propiedades de los números reales

Sean a,b,c tres números reales; existen dos operaciones suma y multiplicación las cuales cumplen las siguientes propiedades (Una propiedad es una igualdad que se cumple).

• Propiedad conmutativa 

∀ a,b ∈ R → a.b = b.a                             

                →a+b = b+a                                                 

Ejemplos: 
Si  a = 2    
     b = 5    
                             

2+5 = 5+2                   2*5  =  5*2
    7 = 7                         10 = 10

• Propiedad asociativa

∀ a,b,c ∈ R → (a.b).c = a.(b.c)                 

                   → (a+b)+c = a+(b+c)

Ejemplos:

Si  a = -1

     b = 2

     c = 3

(-1+2)+3 = -1+(2+3)

       1+3 = -1+5

           4 = 4

(-1*2)*3 = -1*(2*3)

      -2*3 = -1*6

         -6 = -6

• Propiedad distributiva

∀ a, b, c ∈ R → a*(b+c) = a*b+a*c

• Propiedad de neutro aditvo

a ∈ R

a+0 = a

• Propiedad del neutro multiplicativo

a ∈ R

a*1= a

Números reales

Los números reales

Se llama real a un número que puede ser racional e irracional, por lo tanto este conjunto de números es la unión del conjunto de los números racionales (positivos, negativos y el cero) y el conjunto de los números irracionales (no pueden expresarse como fracción).

Diferentes clases de números reales.